难度:易及中，海南省BIM中心整理
解析：
本题考查极值的第一充分条件（单调性判别法）。
A项：先增后减，为极大值。正确。
B项：先减后增，为极小值。正确。
C项：描述的是先减后增，应为极小值，而非极大值。故C说法不正确。
D项：导数不变号说明单调性未改变，无极值。正确。
解析：
这是极值的第二充分条件。
二阶导数大于0，说明曲线在 \(x_0\) 处是凹的（开口向上），且一阶导数为0，故取得极小值。
解析：
\(f''(x) > 0\) 意味着曲线是凹的（Concave Up，开口向上），中文教材常称为“凹”或“上凹”。
注：不同教材对凹凸的定义可能相反，但 \(f'' > 0\) 对应 \( \cup \) 形曲线是通用的。
解析：
求导：\(f'(x) = 1 - e^x\)。
令 \(f'(x) > 0 \Rightarrow 1 - e^x > 0 \Rightarrow e^x < 1 \Rightarrow x < 0\)。即在 \((-\infty, 0)\) 单增。
令 \(f'(x) < 0 \Rightarrow x > 0\)。即在 \((0, +\infty)\) 单减。
故选 C。
解析：
求导：\(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x-3)\)。
令 \(f'(x) = 0\)，得驻点 \(x=0, x=3\)。
当 \(x<0\) 时 \(f'<0\)；当 \(0
\(x=0\) 处导数不变号，不是极值点（是拐点）。
\(x=3\) 处导数由负变正，取得**极小值**。
故选 A。
解析：
\(y' = e^x\)。切线斜率 \(k = y'(0) = e^0 = 1\)。
点斜式方程：\(y - 1 = 1(x - 0) \Rightarrow y = x + 1\)。
解析：
求导：\(f'(x) = x^2 + x + 6\)。
斜率 \(k = f'(0) = 6\)。
切线方程：\(y - 1 = 6(x - 0) \Rightarrow y = 6x + 1\)。
令 \(y=0\)，解得 \(x = -\frac{1}{6}\)。交点为 \((-\frac{1}{6}, 0)\)。
解析：
当 \(x=4\) 时，\(y=\sqrt{4}=2\)。切点 \((4,2)\)。
求导：\(y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)。斜率 \(k = y'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}\)。
方程：\(y - 2 = \frac{1}{4}(x - 4) \Rightarrow 4y - 8 = x - 4 \Rightarrow x - 4y + 4 = 0\)。
解析：
\(y' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}\)。
在 \(x=1\) 处，斜率 \(k = 1\)。
方程：\(y - 0 = 1(x - 1) \Rightarrow y = x - 1\)。
解析：
对导数积分：\(f(x) = \int (1-2x)dx = x - x^2 + C\)。
代入点 \((1,1)\)：\(1 = 1 - 1^2 + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1\)。
所以 \(y = -x^2 + x + 1\)。
解析：
1. 求点坐标：\(x=0 \Rightarrow y = e^0 + (0+1)^2 = 1+1=2\)。点 \((0,2)\)。
2. 求斜率：\(y' = 2e^{2x} + 2(\frac{1}{2}x+1) \cdot \frac{1}{2} = 2e^{2x} + \frac{1}{2}x + 1\)。
\(k_{切} = y'(0) = 2(1) + 0 + 1 = 3\)。
3. 切线：\(y - 2 = 3x \Rightarrow 3x - y + 2 = 0\)。
4. 法线斜率 \(k_{法} = -1/3\)。法线：\(y - 2 = -\frac{1}{3}x \Rightarrow x + 3y - 6 = 0\)。
解析：
\(f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\)。
当 \(x \to 0\) 时，\(f'(x) \to +\infty\)。
导数不存在（无穷大），不可微，但在几何上表现为垂直切线（\(x=0\)轴）。故选 C。
解析：
A错：如 \(y=|x|\) 在 \(x=0\) 处导数不存在，但有极小值。
B错：如 \(y=x^3\) 在 \(x=0\) 处是驻点，但不是极值点（是拐点）。
C错：如 \(y=\sqrt[3]{x}\) 在 \(x=0\) 处导数不存在，但有垂直切线。
D对：费马引理。若可导函数在某点取极值，导数必为0。
解析：
导数为0的点定义为**驻点**。驻点不一定是极值点。
解析：
\(f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}\)。
\(f''(x) = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}\)。
令 \(f''(x)=0\)，得 \(x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1\)。
当 \(x=\pm 1\) 时，\(y = \ln(1+1) = \ln 2\)。
拐点为 \((1, \ln 2)\) 和 \((-1, \ln 2)\)。
解析：
这是拐点的定义：连续曲线上凹凸性发生改变的点称为拐点。
解析：
根据闭区间上连续函数的性质（最大最小值定理），函数必然能取得最大值和最小值。
解析：
A错：驻点可能是拐点。
B错：极值点可能导数不存在（如尖点）。
C对：可导必连续。
D错：连续不一定可导（如 \(y=|x|\) 在 0 处）。
解析：
两边求导（视为乘积导数和复合导数）：
\(y + xy' = e^{x+y}(1+y')\)。
因为 \(e^{x+y} = xy\)，代入得：
\(y + xy' = xy(1+y') = xy + xyy'\)。
\(xy' - xyy' = xy - y\)。
\(y' x (1-y) = y(x-1)\)。
\(y' = \frac{y(x-1)}{x(1-y)}\)。故选 B。
解析：
两边求导：\(y' = 0 + (1 \cdot e^y + x e^y y')\)。
\(y' - x e^y y' = e^y\)。
\(y'(1 - x e^y) = e^y\)。
\(y' = \frac{e^y}{1 - x e^y}\)。
解析：
\(g'(x) = (\sin x)' = \cos x\)。
\(f[g'(x)] = f(\cos x) = e^{\cos x}\)。
解析：
\(g'(x) = (-\cos x)' = \sin x\)。
\(f[g'(x)] = f(\sin x) = e^{\sin x}\)。
解析：
根据微分形式的不变性，无论 \(t\) 是自变量还是中间变量，\(dy = f'(t)dt\) 始终成立。当然，展开后也等于 \(f'(\phi(x))\phi'(x)dx\)。选项A是标准形式。
解析：
\(y' = e^{\sin^2 x} \cdot (\sin^2 x)' = e^{\sin^2 x} \cdot 2\sin x \cos x = e^{\sin^2 x} \sin 2x\)。
\(dy = y' dx = e^{\sin^2 x} \sin 2x dx\)。
(注：选项A在形式上也是对的，因为 \(d(\sin^2 x) = \sin 2x dx\)，但通常考试要求写成 \(f(x)dx\) 的形式，B更具体)
解析：
\(dy = f'(x_0)\Delta x = \frac{1}{2}\Delta x\)。
\(\lim \frac{dy}{\Delta x} = \frac{1}{2}\)（非零常数，且不为1）。
故 \(dy\) 与 \(\Delta x\) 是同阶但非等价无穷小。选 B。
解析：
因为 \(d(1-x^2) = -2x dx\)，所以 \(x dx = -\frac{1}{2} d(1-x^2)\)。
原式 \(= \frac{-\frac{1}{2}d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}\)。故选 B。
解析：
A错：\(d(e^{\sin x}) = e^{\sin x} \cos x dx\)。
B错：\(d(1/x) = -1/x^2 dx\)。(原题若为等式则B可能是 -\frac{1}{\sqrt{x}}dx=d(\sqrt{x})? 需看具体符号)。根据常见题库，通常考察 \(-\frac{1}{x^2}dx = d(\frac{1}{x})\) 是对的，但如果原题是 \(dx/\sqrt{x}\) 等其他形式则不同。
C错：应为 \(xe^{-x^2}dx = -\frac{1}{2} e^{-x^2} d(-x^2)\) 或类似凑微分，系数不对。
D对：\(d(e^{\cos x}) = e^{\cos x}(-\sin x)dx\)，所以 \(e^{\cos x}\sin x dx = -d(e^{\cos x})\)。
解析：
利用链式法则：\(y' = f'(\sin x) \cdot (\sin x)' = f'(\sin x) \cos x\)。
\(dy = y' dx = f'(\sin x)\cos x dx\)。
解析：
同第124题，这是重复题目。
\(y' = e^{\sin^2 x} \cdot 2\sin x \cos x = e^{\sin^2 x} \sin 2x\)。
\(dy = e^{\sin^2 x} \sin 2x dx\)。
解析：
根据原函数的定义：若 \(F'(x) = f(x)\)，则 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的原函数。选 B。
解析：
同一函数的任意两个原函数之间相差一个常数。故选 D。
解析：
多项式除法：\(\frac{x^2}{1+x} = \frac{x^2-1+1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)+1}{x+1} = x - 1 + \frac{1}{x+1}\)。
积分：\(\int (x - 1 + \frac{1}{x+1}) dx = \frac{x^2}{2} - x + \ln|x+1| + C\)。
解析：
已知 \((\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)。
所以 \(\int \frac{-2}{\sqrt{1-x^2}} dx = 2 \int \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} dx = 2\arccos x + C\)。
解析：
展开被积函数：\(e^x (1 - \frac{e^{-x}}{x^2}) = e^x - \frac{1}{x^2}\)。
\(\int (e^x - x^{-2}) dx = e^x - (-x^{-1}) + C = e^x + \frac{1}{x} + C\)。
故选 C。
解析：
原函数为 \(F(x) = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C\)。
选项A中 \(C=4\)，是其中一个原函数。选项B是导数，不是原函数。故选 A。
解析：
常规计算：\(\int \sin 2x dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C\)。
观察选项B：\(\sin^2 x + c = \frac{1-\cos 2x}{2} + c = -\frac{1}{2}\cos 2x + (\frac{1}{2}+c)\)。
这与标准结果仅差一个常数，故B是正确的原函数形式。
解析：
对等式两边求导：
\(x f(x) = (x \sin x)' - \sin x\)
\(x f(x) = (\sin x + x \cos x) - \sin x\)
\(x f(x) = x \cos x \Rightarrow f(x) = \cos x\)。
解析：
已知 \(\int f(x)dx = e^{-x} + C\)，故 \(f(x) = (e^{-x})' = -e^{-x}\)。
求 \(\int x f'(x) dx\)。利用分部积分：
\(\int x f'(x) dx = \int x d(f(x)) = x f(x) - \int f(x) dx\)
\(= x(-e^{-x}) - e^{-x} + c = -e^{-x}(x+1) + c\)。
故选 B。
解析：
\(f'(x) = -e^{-x}\)。
\(f'(\ln x) = -e^{-\ln x} = -e^{\ln(1/x)} = -\frac{1}{x}\)。
积分：\(\int \frac{-1/x}{x} dx = \int -x^{-2} dx = -(-x^{-1}) + c = \frac{1}{x} + c\)。
解析：
不定积分是求导的逆运算。先积分再求导还原为被积函数。
\(\frac{d}{dx} \int f(x) dx = f(x)\)。
解析：
A 错：缺常数 \(C\)。
B 错：\(\int x^{1/2} dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + c\)。
C 对：\((-\cos x)' = \sin x\)。
D 错：\(\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + c\)。
解析：
\(\int x^{3/2} dx = \frac{2}{5}x^{5/2} + C = \frac{2}{5}(\sqrt{x})^5 + C\)。
代入 \((0,1)\)：\(1 = 0 + C \Rightarrow C=1\)。
方程为 \(y = \frac{2}{5}x^{5/2} + 1\)。
解析：
\(\int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} + c = -\frac{1}{2x^2} + c\)。
解析：
\(\int f(x) dx = x \ln x + C_1 \Rightarrow f(x) = (x \ln x)' = \ln x + 1\)。
求 \(\int x(\ln x + 1) dx = \int x \ln x dx + \int x dx\)。
\(\int x \ln x dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\)。
原式 \(= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{2} + c = \frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4} + c\)。
即 \(x^2(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\ln x) + c\)。选 B。
解析：
\(\int \sin x \cos x dx = \int \frac{1}{2}\sin 2x dx = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}\cos 2x) + c = -\frac{1}{4}\cos 2x + c\)。
解析：
\(\int f'(x) dx = f(x) + c\)。
这里 \(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\)，所以结果为 \(\frac{1}{1+x^2} + c\)。
解析：
A 对：基本积分公式。
B 错：\(\int -4x^{-3} dx = -4 \frac{x^{-2}}{-2} = 2x^{-2}\)。
C 错：应为 \(\frac{1}{3}x^3\)。
D 错：应为 \(\frac{2^x}{\ln 2}\)。
解析：
分子：\(\int_0^x \sin t dt = 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2\)。
分母：若为 \(\int_0^x t dt = \frac{1}{2}x^2\)，则极限为1。
若分母是 \(x^2\)，极限为 \(1/2\)。结合常见真题选项（常考洛必达），答案D（1）可能性最大（对应分母积分结果为 \(1/2 x^2\)）。
修正：洛必达法则 \(\frac{\sin x}{x} \to 1\)（若分母求导为x）。
解析：
分子导数：\(\sin^2 x \sim x^2\)。
分母：\(\int_0^x x^2 dx\) 这里的被积函数若是常数 \(x^2\)（对t积分），则为 \(x^3\)。若为 \(t^2\)，则为 \(x^3/3\)。
假设分母为 \(\int_0^x t^2 dt = x^3/3\)。
洛必达：\(\frac{\sin^2 x}{x^2} \to 1\)。
解析：
0/0型，洛必达法则。
分子求导：\(\sin x^3\)。分母求导：\(4x^3\)。
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^3}{4x^3} = \frac{1}{4} \lim \frac{\sin u}{u} = \frac{1}{4}\)。
解析：
利用变限积分求导公式 \(\frac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)dt = f(u(x))u'(x)\)。
原式 \(= e^{\ln x^2 + 1} \cdot (\ln x^2)' = (e^{\ln x^2} \cdot e) \cdot (\frac{1}{x^2} \cdot 2x)\)
\(= (x^2 \cdot e) \cdot \frac{2}{x} = 2ex\)。
解析：
\(\frac{d}{dx} \int_0^x f(t) dt = f(x)\)。
故 \(f(x) = \sin x\)。
解析：
求导：\(\phi'(x) = \frac{3x}{x^2-x+1}\)。
在 \([0,1]\) 上，\(x \ge 0\)，分母恒正（判别式<0），故 \(\phi'(x) \ge 0\)。
函数单调递增，最小值在 \(x=0\) 处取得。
\(\phi(0) = \int_0^0 \dots dt = 0\)。
解析：
\(f'(x) = e^{2x}(3x^2+1)^{1/2} \sim e^{2x} \cdot \sqrt{3}x\) (当 \(x \to \infty\))。
\(g'(x) = c x^{c-1} e^{2x} + x^c \cdot 2e^{2x} = e^{2x}(cx^{c-1} + 2x^c) \sim 2x^c e^{2x}\)。
比值：\(\frac{\sqrt{3}x e^{2x}}{2x^c e^{2x}} = \frac{\sqrt{3}}{2} x^{1-c}\)。
若极限为常数 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，则 \(1-c=0 \Rightarrow c=1\)。
解析：
链式法则：\(f(u) = \sqrt{1+u^4}\)，\(u=\sqrt{x}\)。
原式 \(= \sqrt{1+(\sqrt{x})^4} \cdot (\sqrt{x})' = \sqrt{1+x^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\)。
解析：
基本公式：\(\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)\)。
结果为 \(\sin x^2\)。
解析：
计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}\) （因为 \(\int_0^x \sin t dt = 1-\cos x\)）。
利用等价无穷小 \(1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2\)。
极限值为 \(1/2\)。连续需 \(f(0) = 1/2\)。
解析：
变上限积分函数是原函数的一个特例（满足 \(F(a)=0\) 的那个）。故选 B。
解析：
原式 \( = \lim_{x \to a} x^2 \cdot \frac{\int_a^x f(t) dt}{x-a}\)。
\(x^2 \to a^2\)。
后半部分是导数定义（或洛必达）：\(\lim \frac{f(x)}{1} = f(a)\)。
结果为 \(a^2 f(a)\)。
解析：
\(\int \csc^2 x dx = -\cot x + c\)。
解析：
根据微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），如果 \(f(x)\) 连续，则变上限积分函数 \(\varphi(x) = \int_a^x f(t) dt\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数，且满足 \(\varphi'(x) = f(x)\)。原函数有无穷多个，相差常数，故C错。选 A。
解析：
\(\int_0^{+\infty} e^{-x} dx = \lim_{b \to +\infty} \int_0^b e^{-x} dx = \lim_{b \to +\infty} [-e^{-x}]_0^b\)
\(= \lim_{b \to +\infty} (-e^{-b} + e^0) = 0 + 1 = 1\)。故选 C。
解析：
利用半角公式：\(1+\cos 2x = 2\cos^2 x\)。
\(\sqrt{1+\cos 2x} = \sqrt{2}|\cos x|\)。
原式 \( = \sqrt{2} \int_0^\pi |\cos x| dx\)。在 \([0, \pi/2]\) 上 \(\cos x > 0\)，在 \([\pi/2, \pi]\) 上 \(\cos x < 0\)。
\(\int_0^\pi |\cos x| dx = \int_0^{\pi/2} \cos x dx - \int_{\pi/2}^\pi \cos x dx = [\sin x]_0^{\pi/2} - [\sin x]_{\pi/2}^\pi\)
\(= (1-0) - (0-1) = 2\)。
最终结果：\(2\sqrt{2}\)。故选 C。
解析：
\(F(-x) = \int_0^{-x} f(t) dt\)。令 \(t = -u\)，则 \(dt = -du\)。
当 \(t=0\) 时 \(u=0\)；当 \(t=-x\) 时 \(u=x\)。
\(F(-x) = \int_0^x f(-u)(-du) = -\int_0^x f(u) du\) （因为 \(f\) 是偶函数，\(f(-u)=f(u)\)）
\(= -F(x)\)。故 \(F(x)\) 是奇函数。选 B。
解析：
考察 \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx\) 的收敛性（P-积分判定法）。
当 \(p > 1\) 时收敛，当 \(p \le 1\) 时发散。
A: \(p=1/2 \le 1\)，发散。
B: \(x\sqrt{x} = x^{3/2}\)，\(p=3/2 > 1\)，收敛。
C: \(p=-1/2\)，发散。
D: \(p=2/3 \le 1\)，发散。
故选 B。
解析：
A: \(p=3 > 1\)，收敛。
B: 原函数 \(\sin x\) 在无穷远处震荡，极限不存在，发散。
C: 原函数 \(x\ln x - x\) 趋于无穷，发散。
D: \(e^x\) 趋于无穷，发散。
故选 A。
解析：
\(\int_a^{+\infty} e^{-px} dx = \lim_{b \to +\infty} [-\frac{1}{p}e^{-px}]_a^b\)
\(= 0 - (-\frac{1}{p}e^{-pa}) = \frac{1}{p}e^{-pa}\) （因为 \(p>0\)，\(e^{-\infty}=0\)）。
故选 C。
解析：
令 \(u = \ln x\)，\(du = \frac{1}{x} dx\)。
当 \(x=e\) 时 \(u=1\)；当 \(x \to +\infty\) 时 \(u \to +\infty\)。
原式 \(= \int_1^{+\infty} \frac{1}{u^2} du = [-\frac{1}{u}]_1^{+\infty} = 0 - (-1) = 1\)。
故选 A。
解析：
原函数为 \(-\frac{1}{k}e^{-kx}\)。要使 \(x \to +\infty\) 时极限存在（为0），指数部分必须趋于 \(-\infty\)。
即 \(-kx \to -\infty\)，要求 \(k > 0\)。若 \(k=0\) 积分变成常数1的积分发散。故选 A。
解析：
A: \([e^x]_{-\infty}^0 = 1 - 0 = 1\)。收敛。
B: \(p=1/2\)，发散。
C: \([-e^{-x}]_{-\infty}^0 = -1 - (-\infty) = +\infty\)。发散。
D: 震荡发散。
故选 A。
解析：
凑微分：\(\int \frac{\ln x}{x} dx = \int \ln x d(\ln x) = \frac{1}{2}(\ln x)^2\)。
代入限：\(\lim_{b \to +\infty} [\frac{1}{2}(\ln b)^2 - \frac{1}{2}(\ln e)^2] = +\infty\)。
故发散。选 B。
解析：
对于 \(\int \frac{dx}{x (\ln x)^p}\)，当 \(p > 1\) 时收敛，\(p \le 1\) 时发散。
A: \(p=1\)，发散。
B: 实为 \(\int \frac{\ln x}{x} dx\)，同上一题，发散。
C: \(p=2 > 1\)，收敛。
D: 在 \(x=1\) 处也是瑕点，且上限发散。
故选 C。
解析：
广义积分包括无穷限积分和瑕积分（无界函数积分）。
A: 无穷限积分，是广义积分。
B: 积分区间 \([2,4]\)，被积函数 \(\frac{1}{\sqrt{x-1}}\) 在区间内（包括端点）均连续且有界（瑕点是 \(x=1\)，不在区间内）。这是一个**普通定积分**。
C: 在 \(x=0\) 处无界，是广义积分。
D: 在 \(x=-1\) 处无界，是广义积分。
故选 B。
解析：
连续函数一定可积，故是充分条件。但可积函数不一定连续（例如有限个第一类间断点），故不是必要条件。选 B。
解析：
被积函数 \(f(x) = \frac{\sin x}{1+x^2}\)。
\(f(-x) = \frac{\sin(-x)}{1+(-x)^2} = \frac{-\sin x}{1+x^2} = -f(x)\)。
这是一个奇函数，积分区间 \([-1, 1]\) 关于原点对称。
根据对称性，奇函数在对称区间上的积分为 0。选 A。
解析：
根据绝对值的定义分段积分：
1. 在区间 \([-2, 0]\) 上，\(x \le 0 \Rightarrow |x| = -x\)。
\(\int_{-2}^0 x^2(-x) dx = \int_{-2}^0 -x^3 dx = [-\frac{x^4}{4}]_{-2}^0 = 0 - (-\frac{(-2)^4}{4}) = -(-\frac{16}{4}) = 4\)。
2. 在区间 \([0, 1]\) 上，\(x \ge 0 \Rightarrow |x| = x\)。
\(\int_0^1 x^2(x) dx = \int_0^1 x^3 dx = [\frac{x^4}{4}]_0^1 = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}\)。
总和：\(4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}\)。
故选 C。
解析：
分部积分：\(\int (5x+1) e^{5x} dx\)。令 \(u=5x+1, dv=e^{5x}dx \Rightarrow v=\frac{1}{5}e^{5x}\)。
原式 \(= (5x+1)\frac{1}{5}e^{5x} - \int \frac{1}{5}e^{5x} \cdot 5 dx = (x+\frac{1}{5})e^{5x} - \frac{1}{5}e^{5x} = xe^{5x}\)。
若积分区间为 \([0,1]\)：\([xe^{5x}]_0^1 = 1\cdot e^5 - 0 = e^5\)。
故选 B。
解析：
令 \(t = x^2\)，则 \(dt = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{1}{2} dt\)。
限：\(x=0 \to t=0, x=2 \to t=4\)。
原式 \(= \int_0^4 f(t) \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_0^4 f(x) dx\)。选 A。
解析：
第一部分 \(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\) 是奇函数（双曲正弦），在 \([-1,1]\) 积分为0。
第二部分 \(-x \sin x\) 是偶函数（奇 \(\times\) 奇）。
原式 \(= 0 - 2\int_0^1 x \sin x dx\)。
\(\int x \sin x dx = -x\cos x + \sin x\)。
代入：\(-2 [ (-1\cos 1 + \sin 1) - 0 ] = 2\cos 1 - 2\sin 1\)。
(注：若题目单纯考察奇偶性消去项，常选0，但此题第二项偶函数积分不为0。若第二项也是奇函数形式如 \(\sin x\)，则全为0)
解析：
周期函数在任意一个周期长度上的积分值相等。
即 \(\int_l^{l+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx\)。
这个值是一个常数，与起点 \(l\) 无关，取决于函数本身和周期 \(T\)。故选与 \(l\) 无关的选项。
解析：
令 \(t = \sqrt{x}\)，则 \(x = t^2\)，\(dx = 2t dt\)。
限：\(x=0 \to t=0, x=2 \to t=\sqrt{2}\)。
原式 \(= \int_0^{\sqrt{2}} \frac{f(t)}{t} \cdot 2t dt = 2 \int_0^{\sqrt{2}} f(t) dt\)。
解析：
凑微分：\(\int_0^1 f'(2x) dx = \frac{1}{2} \int_0^1 f'(2x) d(2x)\)。
\(= \frac{1}{2} [f(2x)]_0^1 = \frac{1}{2} [f(2) - f(0)]\)。
故选 C。
解析：
连续且无零点，根据介值定理推论，函数恒正或恒负。
若恒正，积分为正；若恒负，积分为负。无论哪种，积分值均不等于零。选 D。
解析：
A 是牛顿-莱布尼茨公式，正确。
D 进行了变量代换，也是正确的（见182题解析）。
若为多选则AD；若单选，可能考察点不同，但A是最基本的。
解析：
A: 广义积分（瑕点0），发散。不能简单用奇偶性。
B: 广义积分，发散。
C: \([x]_{-1}^1 = 1 - (-1) = 2\)。正确。
D: 奇函数积分，结果为0。正确。
（注：若单选，C最稳妥；D也正确。）
解析：
直接利用牛顿-莱布尼茨公式：
\(\int_0^a f'(x) dx = f(a) - f(0) = \arccos a - \arccos 0\)。
因为 \(\arccos 0 = \pi/2\)，所以结果也是 \(\arccos a - \pi/2\)。
解析：
A: 偶函数积分不为0。
B: 非奇非偶，积分 \(e - 1/e \ne 0\)。
C: 牛顿-莱布尼茨公式。
D: \([-\cos x]_0^\pi = -(-1) - (-1) = 2 \ne 0\)。
解析：
在区间 \([1, 2]\) 上，\(x > 1\)，所以 \(x^3 > x^2\)。
根据定积分的保号性（比较性质），\(\int_1^2 x^3 dx > \int_1^2 x^2 dx\)。
解析：
\(f(x) = \frac{x^2 \sin x}{x^2+1}\)。
\(f(-x) = \frac{(-x)^2 \sin(-x)}{(-x)^2+1} = \frac{x^2(-\sin x)}{x^2+1} = -f(x)\)。
奇函数在对称区间积分等于0。选 D。
解析：
偶函数，\(= 2\int_0^1 x dx = 2[\frac{x^2}{2}]_0^1 = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\)。
解析：
A: 偶函数积分不为0。
D: \(f(x) = x + \sin x\)。\(f(-x) = -x - \sin x = -f(x)\)。奇函数在对称区间积分等于0。选 D。
解析：
\(\int_{-1}^0 -x dx + \int_0^2 x dx = [-\frac{x^2}{2}]_{-1}^0 + [\frac{x^2}{2}]_0^2\)
\(= (0 - (-1/2)) + (2 - 0) = 1/2 + 2 = 5/2\)。
解析：
在 \((0,1)\) 区间内，指数越小，函数值越大（\(x^2 > x^3 > x^4 > x^5\)）。
积分保号性：函数值大的积分结果大。故 \(x^2\) 积分最大。
解析：
将 \(x\) 视为 \(y\) 的函数：\(x = 4-y^2\)。
曲线与 \(y\) 轴交点：\(x=0 \Rightarrow y^2=4 \Rightarrow y=\pm 2\)。
面积 \(S = \int_{-2}^2 x dy = \int_{-2}^2 (4-y^2) dy\)。
解析：
设切点 \((x_0, e^{x_0})\)。切线 \(y - e^{x_0} = e^{x_0}(x-x_0)\)。过原点 \((0,0)\)，得 \(0 - e^{x_0} = e^{x_0}(0-x_0) \Rightarrow -1 = -x_0 \Rightarrow x_0=1\)。
切线方程：\(y = ex\)。
面积 \(S = \int_0^1 (y_{曲线} - y_{切线}) dx = \int_0^1 (e^x - ex) dx\)。
解析：
交点：\(\sqrt{x} = x^2 \Rightarrow x = x^4 \Rightarrow x(x^3-1)=0 \Rightarrow x=0, 1\)。
在 \([0,1]\) 上 \(\sqrt{x} \ge x^2\)。
\(S = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) dx = [\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^3]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\)。
解析：
代入方程验证：\(y = c - x \Rightarrow y' = -1\)。
左边 \( = x + (c - x) - (-1) = c + 1\)。
要使 \(c+1 = 1\)，必须 \(c=0\)。但 \(c\) 是任意常数，不恒成立。
故不是解（除非 \(c=0\)，但作为通解或一般解的说法不成立）。选 D。
解析：
\(y' = 6e^{2x}, y'' = 12e^{2x}\)。
代入：\(12e^{2x} - 4(3e^{2x}) = 0\)。成立，是解。
因为不含任意常数，且符合方程结构，它是通解 \(C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\) 中 \(C_1=3, C_2=0\) 的情况，故为特解。选 B。
解析：
最高阶导数是 \(y''\)，故为二阶。
最高阶导数的次数是2次（\((y'')^2\)），或含有 \(y\) 的非线性项，故为非线性。
选 B。
解析：
特征方程：\(r^2 + r = 0 \Rightarrow r(r+1) = 0 \Rightarrow r_1 = 0, r_2 = -1\)。
通解形式：\(y = C_1 e^{0x} + C_2 e^{-1x} = C_1 + C_2 e^{-x}\)。
选项D符合此形式（常数符号可互换）。